MATEMÁTICA DIVERTIDA

MATEMÁTICA DIVERTIDA E INSTRUTIVA

“Leibniz,grande filósofo e geômetra alemão, considerava a Matemática Recreativa como uma das fontes mais valiosas para as descobertas científicas. Há problemas e jogos infantis ─ proclamava o fundador da Análise ─ que interessam ao sábio” Cientistas renomados tiveram a atenção voltada para as curiosidades e sutilezas relacionadas com as recreações matemáticas. Uma anedota histórica, uma curiosidade geométrica, um sofisma citados, em momento oportuno, pelo professor de matemática tornam o ensino gracioso e leve, alem de despertar a simpatia e o interesse do aluno.
“ Só poderá ser um bom professor de matemática ─ afirmou o ilustre geômetra Rey Pastor (1888 – 1962) ─ aquele que souber, com simplicidade, graça e oportunidade, utilizar em suas lições as recreações e curiosidades matemáticas”. Na Europa, Euler, Gauss, Fermat, Moivre. No Brasil Julio César de Mello e Souza (mais conhecido como Malba-Tahan) e muitos outros grandes cientistas consideravam a Matemática Recreativa como uma das fontes de aprendizado chegando mesmo a nos brindar com uma série de recreações.

Neste artigo, procuramos mostrar alguns problemas interessantes, sofismas e propriedades de números que certamente chamará a atenção dos professores de matemática, levando-os a incentivar seus alunos a pesquisarem outras curiosidades para que sejam discutidas em sala de aula.

Um problema bastante conhecido nos compêndios mais antigos de matemática é o do Galgo e a Lebre, apresentado pelo prof. G. Lemos Faria.

Uma Lebre (L) tem 60 saltos a frente de um Galgo (G) que a persegue. A Lebre dá 7 saltos enquanto o Galgo dá 4, porém 2 saltos do Galgo equivalem a 5 saltos da Lebre. Qual o numero de saltos que o Galgo precisa para alcançar a Lebre?

Tratando-se de um problema de movimento talvez o professor de física queira usar as equações do movimento uniforme para resolvê-lo.

A B C
│--------------60-------------------------│---------y----------│
G L GL
---------------------------------x---------------------------------

O probema a seguir é do tempo em que a moeda no Brasil era o réis e que guardava as seguintes relações:

1 vintém = 20 réis
5 vinténs = 1 tostão ou 100 réis
1 cruzado = 4 tostões ou 400 réis
(O presidente Getulio Vargas fez a primeira mudança igualando 1.000 réis a um Cruzeiro)

Mas vamos ao enunciado:
Um senhor entregou a sua esposa 2.000 réis para ir à feira comprar 20 cabeças de peru, pinto e galinha. Peru a cruzado, pinto a vintém e galinha a tostão.
Qual a quantidade de cada que somado dê 20, com exatamente 2.000réis?
Resposta: a esposa levou para casa 4 perus, 1 galinha e 15 pintos

O professor Rubens Betelman (Curitiba) publicou na revista Al-Karismi um artigo com o título “A PONTUAÇÃO EM MATEMÁTICA”, no qual extraimos alguns trechos.
“Constitui o conhecimento da língua fator indispensável aos que se dedicam ao cultivo da matemática”.
“Para enunciar com clareza um problema, ou apresentar com rigor um conceito, precisa o matemático dominar a língua, pois a erudição científica não será bastante, quando não estiver amparada por um perfeito conhecimento de lingüística. No enunciado de um problema, na apresentação de um conceito ou de uma definição, devemos evitar frases de sentido dúbio; cumpre-nos usar absoluta clareza; usar de simplicidade; fugir à prolixidade, empregando corretamente os sinais de pontuação. Vieira, num dos seus memoráveis sermões, referindo-se ao mesmo assunto citou esta frase: “Surrexit; non est hic” ─ Ressuscitou; não está aqui “,. Com as mesmas palavras( se se mudar a pontuação) pode dizer um herege que Cristo não ressuscitou: ─ “Surrexit? Non, est hic” ─ Ressuscitou? Não, está aqui.
Demonstraremos aos nossos leitores a influência da pontuação em Matemática apresentando-lhes oito problemas diferentes mas em cujos enunciados figuram as mesmas palavras dispostas na mesma ordem. A pontuação que varia de um enunciado para outro, influi de maneira decisiva sobre o sentido do problema e altera o resultado.”

PROBLEMA Nº 1
“O triplo de um número (vírgula) menos oito (vírgula) mais o quádruplo do mesmo número menos seis é igual a três“. Resposta: o número é 5.
A equação seria: 3x – 8 + 4(x – 6) = 3

PROBLEMA N° 2
“O triplo de um número (vírgula) menos oito mais o quádruplo do mesmo número menos 6 é igual a três”. Resposta: o número é 13.
Eis a equação de acordo com o enunciado: 3x – [8 + (x – 6)] = 3

PROBLEMA Nº 3
“O triplo de um número menos oito (vírgula) mais o quádruplo do mesmo número menos seis é igual a três“. Resposta: 51/7 ( sete inteiros e dois sétimos)
Eis a equação de acordo com o enunciado: 3(x-8) + 4(x – 6) = 3

PROBLEMA Nº 4
“O triplo de um número menos oito mais o quádruplo do mesmo número (vírgula) menos seis é igual a três“. Resposta: - 11/3 ( menos três inteiros e dois terços)
A equação tomaria a forma: 3 [x - (8 + 4x)] – 6 = 3

PROBLEMA Nº 5
“O triplo de um número (vírgula) menos oito (vírgula) mais o quádruplo do mesmo número (vírgula) menos seis é igual a três“. Resposta: O número é neste caso 17/7 ( dois inteiros e três sétimos)
A equação, nesse caso, seria muito simples: 3x – 8 + 4x – 6 = 3

PROBLEMA N° 6
“O triplo de um número (vírgula) menos oito mais o quádruplo do mesmo número (vírgula) menos seis é igual a três“. Resposta (– 17) ( menos dezessete)
Equação do problema: 3x – (8 + 4x) – 6 = 3

PROBLEMA Nº 7
“O triplo de um número menos oito (vírgula) mais o quádruplo do mesmo número (vírgula) menos seis é igual a três“. Resposta 33/7 (quatro inteiros e cinco sétimos)
A equação tem a forma 3(x – 8) + 4x – 6 = 3

PROBLEMA N° 8
“O triplo (vírgula) de um número menos oito mais o quádruplo do mesmo número menos seis é igual a três“. Resposta ( dois e meio)
Em linguagem abstrata, atendida a pontuação adotada, teríamos 3( x – 8 + 4x – 6 ) = 3

Dentro do mesmo enunciado poderíamos obter, outras equações inteiramente diferentes dessas oito que foram apresentadass.

Um sofisma bastante interessante:
Consideremos a seguinte igualdade:

16 – 36 = 25 – 45 em seguida adicionemos a ambos os membros o fator 81/4 tendo-se então:

16 – 36 + 81/4 = 25 – 45 + 81/4. Deixemos por enquanto de lado a igualdade que está correta e vamos ao desenvolvimento de (a-b)² que nos dá (a² - 2ab + b²). Ora se para o primeiro membro da igualdade: a = 4 e b = 9/2 temos exatamente (4 – 9/2)². Seguindo o mesmo raciocínio para o segundo membro a = 5 e b = 9/2 chegamos a (5 – 9/2)² e se extrairmos a raiz quadrada de ambos os membros teremos:
4 – 9/2 = 5 – 9/2 ou ainda 4 = 5 – 9/2 + 9/2 o que nos dá: 4 = 5

Para encerrar, vamos mostrar as propriedades do numero 142857
vejam o seguinte:

147852 x 2 = 285714

147852 x 3 = 428571

147852 x 4 = 571428

147852 x 5 = 714285

147852 x 6 = 857142

O produto por 7 dá 999999 e representa uma curiosidade. É o menor número formado somente com noves que é divisível por 7.
Com todas essas informações é fácil concluir qual a origem desse numero, que pertence a classe dos números CABALÍSTICOS.

Bibliografia: Revista Al-Karism, editada em 1946, sob a direção do Professor Julio César de Mello e Souza tendo como redator técnico o Prof. Francelino de Araújo Gomes.