NÚMEROS PRIMOS

CURIOSIDADES SOBRE OS NÚMEROS PRIMOS E TEOREMAS

Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá)
se.ba@uol.com.br


# Entre 1 e 1000 existem apenas quatro primos que podem ser escritos como a
soma dos quadrados de dois quadrados perfeitos ou como a soma de duas
potências do 4º grau. São eles:

257 = 12 + 162 = 14 + 44
337 = 92 + 162 = 34 + 44
641 = 42 + 252 = 24 + 54
881 = 162 + 252 = 44 + 54

# Entre 1 e 1000 existe apenas um primo que pode ser escrito como a soma de duas
potências do 8º grau. Este primo é:


257 = 18 + 28


# Entre 1 e 1000 existem apenas cinco primos que podem ser escritos como a
soma dos quadrados de dois primos. São eles:


13 = 22 + 32
29 = 22 + 52
53 = 22 + 72
173 = 22 + 132
293 = 22 + 172.


# O número 13 é o único primo que pode ser escrito como a soma dos quadrados
de dois primos consecutivos.


13 = 22 + 32




# Entre 1 e 30000 existem apenas três triângulos pitagóricos com os catetos
consecutivos. São eles:


52 = 32 + 42
292 = 202 + 212
1692 = 1192 + 1202


# Numa tabela de primos entre 1 e 33500000 verifiquei o seguinte:
se colocarmos um 3 entre o número 31, obtém-se: 331 (primo)
se colocarmos dois 3, obtém-se: 3331 (primo)
se colocarmos três 3, obtém-se: 33331 (primo)
se colocarmos quatro 3, obtém-se: 333331 (primo)
se colocarmos cinco 3, obtém-se: 3333331 (primo?)
se colocarmos seis 3, obtém-se: 33333331 (primo)
se colocarmos sete 3, obtém-se: 333333331 (será que é primo?)


# Teorema de Sebá 1. Não é possível escrever nenhum primo como a soma dos
quadrados de dois primos gêmeos.


# Teorema de Sebá 2. Seja p > 11 um primo e p = a2 + b2. Se a e b são
consecutivos, então, p termina em 1 ou 3. A recíproca não é verdadeira. (Os
primos com essa propriedade batizei-os de primos de Sebá).

Exemplos: 13 = 22 + 32
41 = 42 + 52
113 = 72 + 82
181 = 92 + 102


# Teorema de Sebá 3. Todo primo ímpar ao quadrado pode ser escrito como a
diferença dos quadrados de dois inteiros consecutivos, de uma única maneira.

Exemplos: 32 = 52 – 42
52 = 132 – 122
72 = 252 – 242
112 = 612 – 602


# Teorema de Sebá 4. Todo número composto ao quadrado (com exceção do par da
forma 2p, onde p é um primo) pode ser escrito como a diferença dos quadrados
de dois inteiros, de duas ou mais maneiras.diferentes.


Exemplos:

92 = 412 – 402
122 = 372 – 352
92 = 152 – 122
122 = 202 – 162
152 = 1132 –1122
122 = 152 – 92
152 = 392 –362
122 = 132 – 52
152 = 252 –202
162 = 652 – 632
152 = 172 – 82
162 = 342 – 302

162 = 202 – 122



# Teorema de Sebá 5. Se p é um primo, então, todo número par da forma 2p ao
quadrado pode ser escrito como a diferença dos quadrados de dois inteiros de
uma única maneira.

Exemplos: Seja p = 2. 2p = 2 x 2 = 4: 42 = 52 – 32
Seja p = 3. 2p = 2 x 3 = 6: 62 = 102 – 82
Seja p = 5. 5p = 2 x 5 = 10: 102 = 262 – 242


# Teorema de Sebá 6. Sejam a, b e c um terno pitagórico. Se 2c2 – 1 for quadrado
perfeito, então, a e b são consecutivos.

Exemplos. Seja c = 5: (quadrado perfeito).

Temos: (a, b, c) = (3, 4, 5)

c2 = a2 + b2
52 = 32 + 42
25 = 9 + 16 = 25

Seja c = 29: (quadrado perfeito)

Temos: (a, b, c) = (20, 21, 29)

292 = 202 + 212

841 = 400 + 441 = 841


Seja c = 169: (quadrado perfeito)

Temos: (a, b, c) = (119, 120, 169)

1692 = 1192 + 1202

28561 = 14161 + 14400 = 28561

O autor é professor aposentado pela UFCG-PB